矩阵加法
jǔ zhèn jiā fǎ
矩阵加法是把两个维数相同的矩阵中对应位置的元素相加。
Formula
(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}
Definition
要把两个矩阵相加，把每个矩阵中相同位置的数字相加：这两个矩阵必须大小相同。严格地说，对两个 $m \times n$ 矩阵 $A$ 和 $B$，它们的和 $C = A + B$ 的元素是 $c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$；加法满足交换律和结合律，零矩阵（所有元素都是 $0$）是加法单位元，$A + O = A$。这使 $M_{m,n}(F)$ 具有阿贝尔群（以及 $F$ 上向量空间）的结构；结合数乘运算，以及对方阵而言的矩阵乘法，$M_n(F)$ 构成一个带单位元的环和 $F$-代数，其李代数 $\mathfrak{gl}_n(F) = (M_n(F), [A,B] = AB - BA)$ 只用到加法和对易子。
Example
$\begin{bmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}5 & 6\\7 & 8\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}6 & 8\\10 & 12\end{bmatrix}$，逐个位置相加。对于 $A = \begin{bmatrix}2 & -1 & 3\\0 & 4 & -2\end{bmatrix}$ 和 $B = \begin{bmatrix}-1 & 2 & 0\\3 & -3 & 1\end{bmatrix}$：$A + B = \begin{bmatrix}1 & 1 & 3\\3 & 1 & -1\end{bmatrix}$。对易子 $[A,B] = AB - BA$ 度量了 $A$ 和 $B$ 不满足交换律的程度，这是量子力学中的核心李括号，$[\hat{x}, \hat{p}] = i\hbar I$，即海森堡对易关系。
Key Insight
如果两个矩阵大小不同，就不能把它们相加，因为多出来的行或列没有对应的元素；所有 $m \times n$ 矩阵的集合连同加法和数乘运算构成一个向量空间，这意味着线性代数的所有工具都适用于把矩阵本身当作向量来处理。矩阵加法是逐元素的，但重要的结构来自它与矩阵乘法的相互作用，这种加法与乘法结构的结合，使矩阵代数成为表示论和量子力学中的关键场景。