Suma de Matrices
La suma de matrices se realiza sumando las entradas correspondientes de dos matrices que tienen las mismas dimensiones.
Formula
(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}
Definition
Para sumar dos matrices, se suman los números en la misma posición de cada una: las dos matrices deben ser del mismo tamaño. Formalmente, para dos matrices $m \times n$ $A$ y $B$, su suma $C = A + B$ tiene entradas $c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$; la suma es conmutativa y asociativa, y la matriz cero (todas las entradas $0$) es la identidad aditiva, $A + O = A$. Esto le da a $M_{m,n}(F)$ la estructura de un grupo abeliano (y espacio vectorial sobre $F$); combinada con la multiplicación escalar y, para matrices cuadradas, la multiplicación de matrices, $M_n(F)$ forma un anillo unitario y una $F$-álgebra, cuya álgebra de Lie $\mathfrak{gl}_n(F) = (M_n(F), [A,B] = AB - BA)$ usa solo la suma y el conmutador.
Example
$\begin{bmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}5 & 6\\7 & 8\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}6 & 8\\10 & 12\end{bmatrix}$, sumando entrada por entrada en la misma posición. Para $A = \begin{bmatrix}2 & -1 & 3\\0 & 4 & -2\end{bmatrix}$ y $B = \begin{bmatrix}-1 & 2 & 0\\3 & -3 & 1\end{bmatrix}$: $A + B = \begin{bmatrix}1 & 1 & 3\\3 & 1 & -1\end{bmatrix}$. El conmutador $[A,B] = AB - BA$ mide cuánto $A$ y $B$ no conmutan, el corchete de Lie central en mecánica cuántica, $[\hat{x}, \hat{p}] = i\hbar I$, la relación de conmutación de Heisenberg.
Key Insight
Si las matrices tienen tamaños distintos, no pueden sumarse, no hay entrada correspondiente para las filas o columnas sobrantes, y el conjunto de todas las matrices $m \times n$ con la suma y la multiplicación escalar forma un espacio vectorial, lo que significa que todas las herramientas del álgebra lineal se aplican a las matrices mismas como vectores. La suma de matrices es entrada por entrada, pero la estructura importante proviene de su interacción con la multiplicación de matrices, y esta combinación de estructura aditiva y multiplicativa hace de las álgebras de matrices un entorno clave para la teoría de representaciones y la mecánica cuántica.