对数函数
duì shù hán shù
对数函数是指数函数的反函数,记作 f(x) = log_b(x),表示要从底数 b 得到 x 所需要的指数。
Formula
f(x) = \log_b(x)
Definition
对数函数是指数函数的反函数：$\log_b(x)$ 问的是"$b$ 要取多少次方才能得到 $x$？"它对 $x > 0$、底数 $b > 0$ 且 $b \neq 1$ 有定义；定义域是 $(0, \infty)$，值域是全体实数，图像经过 $(1, 0)$ 和 $(b, 1)$。严格地说，自然对数 $\ln: (0, \infty) \to \mathbb{R}$ 定义为 $\ln(x) = \int_1^x (1/t)\,dt$，是 $e^x$ 的反函数，对任意底数有 $\log_b(x) = \ln(x)/\ln(b)$；解析延拓到 $\mathbb{C}$ 后，$\ln(z) = \ln|z| + i\arg(z)$ 变为多值函数。
Example
$\log_2(8) = 3$，因为 $2^3 = 8$；$\log_{10}(1000) = 3$，因为 $10^3 = 1000$：对数"撤销"了指数运算。对于 $f(x) = \log_2(x)$：$f(1) = 0$，$f(2) = 1$，$f(4) = 2$，$f(8) = 3$，$f(1/2) = -1$，增长缓慢，在 $x = 0$ 处有竖直渐近线。在复平面上，$\ln(-1) = i\pi$（主值），因为 $e^{i\pi} = -1$，不过这种多值性在复分析中会带来后果，需要引入分支割线。
Key Insight
对数把乘法变成加法，把巨大的数字变得容易处理；里氏震级和分贝都是对数尺度，对数函数与指数函数关于直线 $y = x$ 互为镜像：若 $(a, b)$ 在指数函数图像上，则 $(b, a)$ 就在对数函数图像上。对数的积分定义从几何上解释了为什么 $\log(xy) = \log(x) + \log(y)$，即 $1/t$ 下方的面积：从 $1$ 到 $xy$ 的积分可以拆分为从 $1$ 到 $x$ 的积分加上从 $1$ 到 $y$ 的积分。