Función Logarítmica
Una función logarítmica es la inversa de una función exponencial, escrita como f(x) = log_b(x), e indica qué exponente se necesita para obtener x a partir de la base b.
Formula
f(x) = \log_b(x)
Definition
Una función logarítmica es la inversa de una función exponencial: $\log_b(x)$ pregunta "¿a qué potencia hay que elevar $b$ para obtener $x$?" Está definida para $x > 0$ con base $b > 0$, $b \neq 1$; dominio $(0, \infty)$, rango todos los reales, y su gráfica pasa por $(1, 0)$ y $(b, 1)$. Formalmente, el logaritmo natural $\ln: (0, \infty) \to \mathbb{R}$ se define como $\ln(x) = \int_1^x (1/t)\,dt$, la inversa de $e^x$, con $\log_b(x) = \ln(x)/\ln(b)$ para una base arbitraria; extendido analíticamente a $\mathbb{C}$ como $\ln(z) = \ln|z| + i\arg(z)$, se vuelve multivaluado.
Example
$\log_2(8) = 3$ porque $2^3 = 8$, y $\log_{10}(1000) = 3$ porque $10^3 = 1000$: el logaritmo "deshace" el exponente. Para $f(x) = \log_2(x)$: $f(1) = 0$, $f(2) = 1$, $f(4) = 2$, $f(8) = 3$, $f(1/2) = -1$, aumentando lentamente con una asíntota vertical en $x = 0$. En el plano complejo, $\ln(-1) = i\pi$ (valor principal) ya que $e^{i\pi} = -1$, aunque esta multivaluación tiene consecuencias en análisis complejo, requiriendo cortes de rama.
Key Insight
Los logaritmos convierten la multiplicación en suma y los números enormes en manejables; la escala de Richter y los decibeles son ambas escalas logarítmicas, y las funciones logarítmicas y exponenciales son imágenes especulares una de otra a través de $y = x$: si $(a, b)$ está en la gráfica exponencial, $(b, a)$ está en la gráfica logarítmica. La definición integral del logaritmo explica geométricamente por qué $\log(xy) = \log(x) + \log(y)$, como áreas bajo $1/t$: la integral de $1$ a $xy$ se divide como la integral hasta $x$ más la integral hasta $y$.