局部最大值
jú bù zuì dà zhí
局部最大值是函数上比附近所有点都高的一个点,就像山丘的顶端。
Formula
f(c) \ge f(x) \text{ for all } x \text{ near } c
Definition
局部最大值是某个邻域内的最高点，就像山丘的顶端：附近的点都比它低，即使别处还有更高的山峰。严格地说，若在 $c$ 周围某个开区间内的所有 $x$ 都满足 $f(c) \ge f(x)$，则 $f$ 在 $c$ 处有局部最大值（若对所有这样的 $x \neq c$ 都有 $f(c) > f(x)$，则是严格局部最大值）；若 $f$ 可导，则在该处 $f'(c) = 0$，且 $f'$ 由正变负。对于光滑的 $f$，二阶条件 $f''(c) < 0$ 是充分但非必要的，在多元微积分中，海森矩阵必须是负定的。
Example
过山车在每座山丘的顶端都有许多局部最大值：每个山顶都比它周围的轨道高，但可能不是整趟旅程的最高点。对于 $f(x) = -x^2 + 4x$：$f'(x) = -2x + 4 = 0$ 在 $x = 2$ 处成立，且 $f''(2) = -2 < 0$ 证实在 $f(2) = 4$ 处是局部（也是全局）最大值。但 $f(x) = -x^4$ 在 $0$ 处有局部最大值，尽管 $f''(0) = 0$ 使得二阶导数判别法失效。
Key Insight
"局部"意味着只考虑紧邻的邻域，不与远处的点比较。局部最大值总是出现在临界点处，但并非所有临界点都是局部最大值，因此一阶或二阶导数判别法可以区分它们。在凸优化中，凹函数的局部最大值就是全局最大值，但在神经网络训练这类非凸问题中，区分局部最大值与鞍点是一项核心挑战。