Máximo Local
Un máximo local es un punto de una función más alto que todos los puntos cercanos, como la cima de una colina.
Formula
f(c) \ge f(x) \text{ for all } x \text{ near } c
Definition
Un máximo local es el punto más alto en un vecindario, como la cima de una colina: los puntos cercanos son todos más bajos, aunque existan picos más altos en otro lugar. Formalmente, $f$ tiene un máximo local en $c$ si $f(c) \ge f(x)$ para todo $x$ en algún intervalo abierto alrededor de $c$ (un máximo local estricto si $f(c) > f(x)$ para todo tal $x \neq c$); si $f$ es diferenciable, $f'(c) = 0$ ahí y $f'$ cambia de positiva a negativa. Para $f$ suave, la condición de segundo orden $f''(c) < 0$ es suficiente pero no necesaria, y en cálculo multivariable la Hessiana debe ser definida negativa.
Example
Una montaña rusa tiene muchos máximos locales en las cimas de sus colinas: cada cima es más alta que el riel justo a su alrededor, pero podría no ser el punto más alto de todo el recorrido. Para $f(x) = -x^2 + 4x$: $f'(x) = -2x + 4 = 0$ en $x = 2$, y $f''(2) = -2 < 0$ confirma un máximo local (y global) en $f(2) = 4$. Pero $f(x) = -x^4$ tiene un máximo local en $0$ aunque $f''(0) = 0$ hace que el criterio de la segunda derivada sea inconcluyente.
Key Insight
"Local" significa que solo cuenta el vecindario inmediato; no se compara con puntos lejanos. Un máximo local siempre ocurre en un punto crítico, pero no todos los puntos críticos son máximos locales, así que el criterio de la primera o segunda derivada los distingue. En optimización convexa, los máximos locales de funciones cóncavas son globales, pero en entornos no convexos como el entrenamiento de redes neuronales, distinguir los máximos locales de los puntos silla es un desafío central.