一次函数（线性函数）
yī cì hán shù (xiàn xìng hán shù)
一次函数是图像为一条直线的函数,可用形如 f(x) = mx + b 的方程描述。
Formula
f(x) = mx + b
Definition
一次函数画出图像后是一条直线，形式为 $f(x) = mx + b$，其中 $m$ 是斜率（变化率，即陡峭程度），$b$ 是 $y$ 截距，即直线与 $y$ 轴相交的位置；$x$ 的次数是 $1$，任意两点之间的斜率为 $m = (y_2 - y_1) / (x_2 - x_1)$。严格来说，在线性代数中，一个线性映射必须满足 $f(ax + by) = af(x) + bf(y)$，这要求 $b = 0$；$b \neq 0$ 的函数严格来说是仿射的，这个区别在高等数学中很重要。
Example
$f(x) = 2x + 3$ 每向右移动 $1$ 个单位就上升 $2$ 个单位，并与 $y$ 轴相交于 $(0, 3)$，经过 $(0, 3)$、$(1, 5)$、$(2, 7)$ 等点。一项每月收费 $\$25$ 加每条短信 $\$0.10$ 的手机套餐，$\text{Cost} = 0.10x + 25$，是线性的，因为每多发一条短信都增加相同的 $\$0.10$：发送 $100$ 条短信后，费用是 $\$25 + \$10 = \$35$。在线性代数中，对矩阵 $A$，$T(x) = Ax$ 才是真正的线性变换；斜截式是仿射的，而过原点的形式 $y = mx$ 才是严格代数意义下的线性映射。
Key Insight
"线性"意味着"画出一条直线"：变化率是常数，每当 $x$ 增加 $1$，$y$ 都增加相同的量，也就是斜率，不允许出现弯曲，任意两点确定唯一一条直线。一次函数是微积分的基础：导数在局部用线性函数（切线）近似原函数，这种线性近似是牛顿法和数值分析的基础。