Función Lineal
Una función lineal es una función cuya gráfica es una línea recta, descrita por una ecuación de la forma f(x) = mx + b.
Formula
f(x) = mx + b
Definition
Una función lineal forma una línea recta al graficarse, con la forma $f(x) = mx + b$, donde $m$ es la pendiente (la tasa de cambio, o inclinación) y $b$ es la intersección con el eje $y$ donde la línea cruza el eje $y$; el grado de $x$ es $1$, y la pendiente $m = (y_2 - y_1) / (x_2 - x_1)$ entre dos puntos cualesquiera. Estrictamente hablando, en álgebra lineal una aplicación lineal debe satisfacer $f(ax + by) = af(x) + bf(y)$, lo cual requiere $b = 0$; las funciones con $b \neq 0$ son técnicamente afines, y la distinción importa en matemática superior.
Example
$f(x) = 2x + 3$ sube $2$ unidades por cada $1$ unidad que se mueve a la derecha y cruza el eje $y$ en $(0, 3)$, pasando por puntos como $(0, 3)$, $(1, 5)$, $(2, 7)$. Un plan de celular que cobra $\$25$/mes más $\$0.10$ por mensaje de texto, $\text{Cost} = 0.10x + 25$, es lineal ya que cada mensaje adicional cuesta lo mismo, $\$0.10$: después de $100$ mensajes, el costo es $\$25 + \$10 = \$35$. En álgebra lineal, $T(x) = Ax$ para una matriz $A$ es una verdadera transformación lineal; la forma pendiente-intersección es afín, mientras que la forma que pasa por el origen $y = mx$ es la aplicación lineal en el sentido algebraico estricto.
Key Insight
Lineal significa "forma una línea": la tasa de cambio es constante, cada vez que $x$ aumenta en $1$, $y$ aumenta en la misma cantidad, la pendiente, sin curvas permitidas, y dos puntos cualesquiera determinan una única línea. Las funciones lineales son la base del cálculo: las derivadas aproximan funciones localmente mediante funciones lineales (líneas tangentes), y esta aproximación lineal sustenta el método de Newton y el análisis numérico.