线性方程
xiàn xìng fāng chéng
线性方程是图像为一条直线的代数方程，其中变量仅取一次幂。
Formula
ax + b = c
Definition
线性方程是图像为一条直线的方程，由像 $x$ 这样从不平方或取任何其他次幂的变量构成。在一元情形下，它的形式是 $ax + b = c$，其中 $a$、$b$、$c$ 为常数且 $a$ 不为零；在二元情形下，形式是 $ax + by = c$，每个解都是位于该直线上的有序数对 $(x, y)$。更严格地说，线性方程是次数为 $1$ 的多项式方程；在 $n$ 个变量的情形下，一般形式 $a_1x_1 + a_2x_2 + \ldots + a_nx_n = b$ 定义了一个超平面，即 $\mathbb{R}^n$ 中维数为 $n-1$ 的仿射子空间。线性方程是线性方程组的基本组成部分，其解的理论通过矩阵代数与高斯消元法来研究。
Example
例如，$2x + 3 = 11$ 两边同时减去 $3$ 得到 $2x = 8$，再除以 $2$ 得到 $x = 4$；类似地，$3x - 7 = 2$ 得到 $3x = 9$，所以 $x = 3$。在二元情形下，$y = 2x + 1$ 满足 $(0,1)$、$(1,3)$、$(2,5)$，这些点都在同一条直线上，是共线点。方程 $2x - 5y = 10$ 在 $\mathbb{R}^2$ 中定义了一条斜率为 $2/5$、y 轴截距为 $-2$ 的直线，可以写成矩阵形式 $Ax = b$，其中 $A = [2, -5]$，$x = [x; y]$，$b = [10]$。
Key Insight
"线性"（linear）一词源自"直线"（line）：如果一个方程的图像是一条直线，它就是线性的。一元线性方程至多有一个解，而二元线性方程则有无穷多个解，它们在坐标平面上构成一条直线。这种性质反映了一个更深层的原理，叠加原理：如果 $x_1$ 和 $x_2$ 都是齐次形式 $ax + by = 0$ 的解，那么它们的任意线性组合也是解，这一原理支撑着整个线性代数理论。