Ecuación Lineal
Una ecuación lineal es una ecuación algebraica cuya gráfica es una línea recta, con variables elevadas únicamente a la primera potencia.
Formula
ax + b = c
Definition
Una ecuación lineal es una ecuación cuya gráfica es una línea recta, construida a partir de una variable como $x$ que nunca está elevada al cuadrado ni a ninguna otra potencia. En una variable tiene la forma $ax + b = c$, donde $a$, $b$, y $c$ son constantes y $a$ no es cero; en dos variables la forma es $ax + by = c$, y toda solución es un par ordenado $(x, y)$ que se encuentra sobre esa línea. Más formalmente, una ecuación lineal es una ecuación polinómica de grado $1$; en $n$ variables la forma general $a_1x_1 + a_2x_2 + \ldots + a_nx_n = b$ define un hiperplano, un subespacio afín de dimensión $n-1$ en $\mathbb{R}^n$. Las ecuaciones lineales son los bloques de construcción de los sistemas lineales, cuya teoría de solución se estudia mediante el álgebra matricial y la eliminación gaussiana.
Example
Por ejemplo, $2x + 3 = 11$ se resuelve restando $3$ a ambos lados para obtener $2x = 8$, y luego dividiendo entre $2$ para obtener $x = 4$; de manera similar, $3x - 7 = 2$ da $3x = 9$, así que $x = 3$. En dos variables, $y = 2x + 1$ se satisface con $(0,1)$, $(1,3)$, $(2,5)$, todos puntos colineales sobre la misma línea. La ecuación $2x - 5y = 10$ define una línea en $\mathbb{R}^2$ con pendiente $2/5$ e intersección con el eje y de $-2$, que puede escribirse en forma matricial $Ax = b$ con $A = [2, -5]$, $x = [x; y]$, $b = [10]$.
Key Insight
La palabra "lineal" viene de "línea": si una ecuación se grafica como una línea recta, es lineal. Una ecuación lineal en una variable tiene a lo sumo una solución, mientras que en dos variables tiene infinitas, formando todas una línea en el plano coordenado. Este comportamiento refleja una propiedad más profunda llamada superposición: si $x_1$ y $x_2$ son soluciones de la forma homogénea $ax + by = 0$, también lo es cualquier combinación lineal de ellas, un principio que sustenta toda la teoría del álgebra lineal.