Recta
Una recta es una figura recta y unidimensional que se extiende infinitamente en ambas direcciones, sin extremos.
Definition
Una recta es perfectamente derecha y continúa para siempre en ambas direcciones, sin extremos; dibujamos flechas en ambos extremos para mostrar que nunca se detiene, y la nombramos usando dos puntos sobre ella, como la recta $AB$, o con una sola letra minúscula. Tiene solo una dimensión, la longitud, sin ancho ni grosor, y queda determinada por cualesquiera dos puntos distintos sobre ella. En geometría analítica, una recta en $\mathbb{R}^2$ es el conjunto solución de $ax + by = c$ (con $a, b$ no ambos cero); en álgebra lineal, una recta que pasa por el origen es un subespacio de dimensión uno, y una recta general es un subespacio afín de dimensión $1$.
Example
Imagina un rayo láser que continúa para siempre en ambas direcciones, eso es como una recta; el borde de una regla muestra un camino recto, pero una verdadera recta se extendería más allá de ambos extremos para siempre. La recta $AB$ que pasa por los puntos $A(1, 2)$ y $B(4, 6)$ es la única recta que pasa por esos dos puntos; las rectas paralelas nunca se intersecan, mientras que las rectas perpendiculares se intersecan a $90^\circ$. La recta que pasa por los puntos $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2)$ tiene ecuación $(y - y_1)/(y_2 - y_1) = (x - x_1)/(x_2 - x_1)$, y en geometría proyectiva dos rectas distintas cualesquiera del plano proyectivo se encuentran en exactamente un punto, incluyendo un "punto en el infinito" para las rectas paralelas.
Key Insight
Dos puntos distintos determinan exactamente una recta, uno de los postulados centrales de la geometría euclidiana, y esta unicidad sustenta muchas demostraciones geométricas. El quinto postulado de Euclides (el postulado de las paralelas) trata sobre rectas: por un punto que no está sobre una recta, existe exactamente una recta paralela. Cambiar este único axioma produce la geometría hiperbólica (muchas paralelas) o la geometría elíptica (ninguna paralela), lo que muestra cómo una sola suposición sobre las rectas expande la geometría más allá de la de Euclides.