无穷远处的极限
wú qióng yuǎn chù de jí xiàn
无穷远处的极限描述的是,当函数的输入朝正向或负向无限增大时,函数趋近的值。
Formula
\lim_{x \to \infty} f(x) = L
Definition
无穷远处的极限考察的是：当 $x$ 不断增大（或不断变得更负）时，函数的输出最终趋近哪个数。严格地说，$\lim_{x \to \infty} f(x) = L$ 表示当 $x$ 无限增大时，$f(x)$ 任意接近 $L$：对任意 $\epsilon > 0$，都存在 $N$，使得 $x > N$ 蕴含 $|f(x) - L| < \epsilon$。如果极限等于某个有限值 $L$，图形就在 $y = L$ 处有一条水平渐近线；极限也可以等于 $+\infty$ 或 $-\infty$。
Example
对于 $f(x) = 1/x$，当 $x$ 变得非常大（$100$、$1000$、$1{,}000{,}000\ldots$）时，输出趋近于 $0$，所以 $\lim_{x \to \infty} 1/x = 0$。对于像 $\lim_{x \to \infty} (3x^2 + 2)/(x^2 - 1)$ 这样的有理函数，将分子分母同除以 $x^2$ 得到 $(3 + 2/x^2)/(1 - 1/x^2) \to 3/1 = 3$，即在 $y=3$ 处有水平渐近线。更微妙的例子 $\lim_{x \to \infty} (\sin x)/x = 0$，由夹逼定理得出，因为 $-1/x \le (\sin x)/x \le 1/x$ 且两个界都趋于 $0$，这一结果正是信号处理中 sinc 函数的基础。
Key Insight
无穷远处的极限描述的是函数的长期走向，就像问一个趋势最终会走向何处；对于有理函数，比较分子与分母的次数（次数相等时极限为有限值，等于首项系数之比）是最快的求解方法。洛必达法则、夹逼定理和渐近展开是分析学与应用数学中求解无穷远处极限的主要工具。