Límite al Infinito
Un límite al infinito describe a qué valor se aproxima una función cuando su entrada crece sin límite en dirección positiva o negativa.
Formula
\lim_{x \to \infty} f(x) = L
Definition
Un límite al infinito pregunta a qué número se aproxima la salida de una función a medida que $x$ se hace cada vez más grande (o cada vez más negativo). Formalmente, $\lim_{x \to \infty} f(x) = L$ significa que $f(x)$ se acerca arbitrariamente a $L$ conforme $x$ crece sin límite: para todo $\epsilon > 0$ existe $N$ tal que $x > N$ implica $|f(x) - L| < \epsilon$. Si el límite es igual a un $L$ finito, la gráfica tiene una asíntota horizontal en $y = L$; los límites también pueden ser $+\infty$ o $-\infty$.
Example
Para $f(x) = 1/x$, a medida que $x$ se vuelve enorme ($100$, $1000$, $1{,}000{,}000\ldots$), la salida se reduce hacia $0$, así que $\lim_{x \to \infty} 1/x = 0$. Para funciones racionales como $\lim_{x \to \infty} (3x^2 + 2)/(x^2 - 1)$, al dividir numerador y denominador entre $x^2$ se obtiene $(3 + 2/x^2)/(1 - 1/x^2) \to 3/1 = 3$, una asíntota horizontal en $y=3$. Un caso más sutil, $\lim_{x \to \infty} (\sin x)/x = 0$, se deduce del teorema del emparedado ya que $-1/x \le (\sin x)/x \le 1/x$ y ambas cotas tienden a $0$, un resultado que sustenta la función sinc en procesamiento de señales.
Key Insight
Los límites al infinito describen el comportamiento a largo plazo de una función, como preguntar hacia dónde se dirige finalmente una tendencia; para funciones racionales, comparar los grados del numerador y del denominador (grados iguales dan un límite finito igual al cociente de los coeficientes principales) es la forma más rápida de evaluarlos. La regla de L'Hopital, el teorema del emparedado y las expansiones asintóticas son las herramientas principales para evaluar límites al infinito en análisis y matemática aplicada.