Mínimo Común Denominador
El mínimo común denominador (MCD) es el número más pequeño que es múltiplo de dos o más denominadores, y se usa para sumar o comparar fracciones de manera eficiente.
Formula
\text{LCD}(b, d) = \text{LCM}(b, d) = \frac{bd}{\gcd(b, d)}
Definition
El mínimo común denominador (MCD) es el número más pequeño que puede usarse como número de abajo para dos o más fracciones al mismo tiempo, el denominador común más pequeño que se puede usar. Formalmente, el MCD de las fracciones $a/b$ y $c/d$ es $\text{LCM}(b, d)$, calculado como $bd/\gcd(b, d)$; para tres o más fracciones, se toma el mcm de todos los denominadores, que puede hallarse mediante factorización en primos como el producto de cada primo elevado a su exponente máximo entre todos los denominadores. Esto es un caso del supremo en el reticulado de divisibilidad de los enteros positivos: $\text{LCM}(a, b)$ es el supremo (la mínima cota superior) de $a$ y $b$, mientras que $\gcd(a, b)$ es su ínfimo (la máxima cota inferior).
Example
Para $1/4$ y $1/6$, al listar los múltiplos ($4, 8, 12, 16, \ldots$ y $6, 12, 18, \ldots$) se ve que el primer valor compartido es $12$, así que el MCD es $12$: $1/4 = 3/12$ y $1/6 = 2/12$. Para $5/12$ y $7/18$: $\gcd(12, 18) = 6$, así que $\text{LCM} = 12 \times 18/6 = 36$, dando $5/12 = 15/36$ y $7/18 = 14/36$. Para tres fracciones $1/12$, $1/18$, $1/20$: como $12 = 2^2 \times 3$, $18 = 2 \times 3^2$, y $20 = 2^2 \times 5$, el mcm es $2^2 \times 3^2 \times 5 = 180$, así que cada una se convierte como $1/12 = 15/180$, $1/18 = 10/180$, $1/20 = 9/180$.
Key Insight
Usar el MCD (en lugar de cualquier denominador común) mantiene tus números lo más pequeños y simples posible, menos trabajo y menos posibilidades de error. El MCD no solo sirve para sumar y restar, también aparece al comparar fracciones: reescribir las fracciones sobre su MCD hace que las comparaciones de tamaño sean triviales, ya que la fracción con el numerador más grande es la mayor una vez que los denominadores coinciden.