正弦定理
zhèng xián dìng lǐ
正弦定理指出，在任意三角形中，每条边与其对角正弦值的比值都相等。
Formula
\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}
Definition
正弦定理指出，在任意三角形中，某边除以其对角的正弦，对三条边而言都给出相同的值：$a/\sin(A) = b/\sin(B) = c/\sin(C)$。这个公共比值等于外接圆的直径 $2R$，这源自圆周角定理：边 $a$ 在半径为 $R$ 的外接圆中所对的圆心角为 $2A$，由此得到 $a = 2R\sin(A)$。这一定理对所有三角形都成立，并推广到球面三角学中，在单位球面上写作 $\sin(a)/\sin(A) = \sin(b)/\sin(B) = \sin(c)/\sin(C)$。
Example
在一个角 $A = 30^\circ$、$a = 5$、角 $B = 70^\circ$ 的三角形中：$b/\sin(70^\circ) = 5/\sin(30^\circ) = 10$，所以 $b \approx 9.40$。对于 AAS 情形，$A = 40^\circ$、$B = 75^\circ$、$a = 8$：$C = 65^\circ$，$b = 8\sin(75^\circ)/\sin(40^\circ) \approx 12.02$。外接圆半径 $R = a/(2\sin(A))$，面积公式 $K = abc/(4R)$ 直接由正弦定理得出。
Key Insight
对于不是直角三角形的三角形，正弦定理是救星：只要知道两个角和一条边，或者两条边和其中一条边的对角，就能解出整个三角形，不过 SSA 情形可能给出 $0$、$1$ 或 $2$ 个解（"模糊情形"）。正弦定理通过外接圆半径把三角形几何与圆的几何联系起来，这是托勒密定理的基础，在古典几何中的三角形中心和圆内接四边形理论中也极为重要。