Ley de Senos
La ley de senos establece que, en cualquier triángulo, la razón entre cada lado y el seno de su ángulo opuesto es constante.
Formula
\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}
Definition
La ley de senos dice que en cualquier triángulo, dividir un lado entre el seno del ángulo opuesto a él siempre da el mismo valor para los tres lados: $a/\sin(A) = b/\sin(B) = c/\sin(C)$. Esta razón común es igual al diámetro de la circunferencia circunscrita, $2R$, lo cual se deriva del teorema del ángulo inscrito: el lado $a$ subtiende un ángulo central $2A$ en la circunferencia circunscrita de radio $R$, dando $a = 2R\sin(A)$. La ley se cumple para todos los triángulos y se generaliza a la trigonometría esférica como $\sin(a)/\sin(A) = \sin(b)/\sin(B) = \sin(c)/\sin(C)$ sobre una esfera unitaria.
Example
En un triángulo con ángulo $A = 30^\circ$, $a = 5$, y ángulo $B = 70^\circ$: $b/\sin(70^\circ) = 5/\sin(30^\circ) = 10$, así que $b \approx 9.40$. Para AAL con $A = 40^\circ$, $B = 75^\circ$, $a = 8$: $C = 65^\circ$, $b = 8\sin(75^\circ)/\sin(40^\circ) \approx 12.02$. El circunradio $R = a/(2\sin(A))$, y la fórmula de área $K = abc/(4R)$ se deriva directamente de la ley de senos.
Key Insight
La ley de senos es un salvavidas para triángulos que no son rectángulos: mientras conozcas dos ángulos y un lado, o dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos, puedes resolver el triángulo, aunque el caso LAA (lado-ángulo-ángulo, la configuración ambigua) puede dar $0$, $1$ o $2$ soluciones (el "caso ambiguo"). La ley conecta la geometría del triángulo con la geometría del círculo mediante el circunradio, la base del teorema de Ptolomeo y fundamental en los centros del triángulo y la teoría de cuadriláteros cíclicos en la geometría clásica.