余弦定理
yú xián dìng lǐ
余弦定理把勾股定理推广到任意三角形，把三条边与其中一个角的余弦联系起来。
Formula
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)
Definition
余弦定理是求任意三角形（不只是直角三角形）缺失边或角的公式：$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)$，其中 $C$ 是边 $a$、$b$ 之间的夹角。用于 SAS（两边及夹角）求第三边，或用于 SSS（已知三边）通过 $\cos(C) = (a^2 + b^2 - c^2)/(2ab)$ 求角。它源自点积公式 $c^2 = |a - b|^2 = |a|^2 - 2a \cdot b + |b|^2$，其中 $a \cdot b = |a||b|\cos(C)$，在球面三角学中，对应的公式是 $\cos(c) = \cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b)\cos(C)$。
Example
一个三角形边长 $a = 7$、$b = 10$，两边之间的夹角 $C = 60^\circ$：$c^2 = 49 + 100 - 140 \times 0.5 = 79$，所以 $c \approx 8.89$。对于 SSS 情形，$a = 6$、$b = 8$、$c = 9$：$\cos(C) = (36 + 64 - 81)/96 \approx 0.198$，所以 $C \approx 78.6^\circ$。把这个定理应用于由原点和两点构成的三角形，其中 $C$ 是原点处的夹角，也能得到 $\mathbb{R}^2$ 中的距离公式。
Key Insight
当角 $C = 90^\circ$ 时，$\cos(90^\circ) = 0$，公式变为 $c^2 = a^2 + b^2$，即勾股定理；余弦定理是它对非直角情形的推广。当 $C$ 为钝角时，$\cos(C) < 0$，使得 $c^2$ 大于 $a^2 + b^2$，这与钝角三角形第三边更长的直觉相符。余弦定理是欧几里得几何中的度量恒等式，在一般内积空间中它变为 $||u - v||^2 = ||u||^2 - 2\langle u,v \rangle + ||v||^2$，这是希尔伯特空间几何的基础。