Ley de Cosenos
La ley de cosenos generaliza el teorema de Pitágoras a cualquier triángulo, relacionando los tres lados con el coseno de uno de sus ángulos.
Formula
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)
Definition
La ley de cosenos es una fórmula para hallar un lado o ángulo desconocido en cualquier triángulo, no solo en triángulos rectángulos: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)$, donde $C$ es el ángulo entre los lados $a$ y $b$. Úsala para LAL (dos lados y el ángulo incluido) para hallar el tercer lado, o LLL (los tres lados) para hallar ángulos mediante $\cos(C) = (a^2 + b^2 - c^2)/(2ab)$. Se deriva de la fórmula del producto punto, $c^2 = |a - b|^2 = |a|^2 - 2a \cdot b + |b|^2$ con $a \cdot b = |a||b|\cos(C)$, y en trigonometría esférica el análogo es $\cos(c) = \cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b)\cos(C)$.
Example
Un triángulo tiene lados $a = 7$, $b = 10$ con ángulo $C = 60^\circ$ entre ellos: $c^2 = 49 + 100 - 140 \times 0.5 = 79$, así que $c \approx 8.89$. Para LLL con $a = 6$, $b = 8$, $c = 9$: $\cos(C) = (36 + 64 - 81)/96 \approx 0.198$, así que $C \approx 78.6^\circ$. La ley también da la fórmula de distancia en $\mathbb{R}^2$ al aplicarla al triángulo formado por el origen y dos puntos, con $C$ el ángulo en el origen.
Key Insight
Cuando el ángulo $C = 90^\circ$, $\cos(90^\circ) = 0$ y la fórmula se convierte en $c^2 = a^2 + b^2$, el teorema de Pitágoras, su generalización para ángulos no rectos; cuando $C$ es obtuso, $\cos(C) < 0$, haciendo que $c^2$ sea mayor que $a^2 + b^2$, lo cual coincide con la intuición de que los triángulos obtusángulos tienen un tercer lado más largo. La ley de cosenos es la identidad métrica en geometría euclidiana, y en un espacio general con producto interno se convierte en $||u - v||^2 = ||u||^2 - 2\langle u,v \rangle + ||v||^2$, el fundamento de la geometría de espacios de Hilbert.