侧面积
cè miàn jī
侧面积是立体图形所有侧面面积的总和，不包括底面。
Formula
LSA = \text{perimeter of base} \times \text{height (prism)}
Definition
侧面积是三维图形仅侧面部分的面积，不包括顶面或底面，就像包在一个罐头外面的标签面积。棱柱的侧面积是其所有矩形侧面面积之和，$LSA = \text{perimeter of base} \times \text{height}$，无论底面是什么形状都适用；对于直圆柱，$LSA = 2\pi r h$（把弯曲表面展开后形成的矩形）；对于直圆锥，$LSA = \pi r l$，其中 $l$ 是斜高。严格地说，对于底面周长为 $P$、高为 $h$ 的直棱柱，$LSA = Ph$；对于斜棱柱，每个侧面都是平行四边形，$LSA = Pl$，其中 $l$ 是侧棱的长度；对于曲面，侧面积是仅在侧面部分上的曲面积分。
Example
一个高 $8$ cm、宽 $10$ cm、深 $4$ cm 的谷物盒，四个侧面的面积分别为 $80$、$32$、$80$ 和 $32$ cm$^2$，侧面积总计 $224$ cm$^2$，不包括顶面和底面。底面周长 $18$ cm、高 $10$ cm 的三棱柱，$LSA = 18 \times 10 = 180$ cm$^2$；半径 $5$ cm、斜高 $13$ cm 的圆锥，$LSA = \pi \times 5 \times 13 = 65\pi = 204.2$ cm$^2$。对于半顶角为 $\alpha$、高为 $h$ 的圆锥，斜高 $l = h/\cos\alpha$，半径 $r = h\tan\alpha$，$LSA = \pi r l = \pi h^2\tan\alpha/\cos\alpha$；当 $\alpha \to 0$ 时，圆锥趋近于"针形"，侧面积趋于 $0$。
Key Insight
把罐头上的标签撕下来展平，就得到一个矩形：这个矩形的面积就是圆柱的侧面积，这是理解为什么 $LSA = 2\pi r h$ 的一个很好的方式。在制造业中，侧面积决定了罐头、管道和管材所需的材料；在固定体积下最小化总材料的优化问题，得出最优圆柱的高等于直径的结论，是应用微积分中的一个经典结果。