Área de Superficie Lateral
El área de superficie lateral es el área total de todas las caras laterales de un sólido, sin incluir las bases.
Formula
LSA = \text{perimeter of base} \times \text{height (prism)}
Definition
El área de superficie lateral es el área de solo los lados de una figura 3D, sin contar la parte superior ni la inferior, como el área de una etiqueta envuelta alrededor de una lata. El área de superficie lateral de un prisma es la suma de las áreas de sus caras laterales rectangulares, $LSA = \text{perimeter of base} \times \text{height}$, lo cual funciona para cualquier prisma sin importar la forma de la base; para un cilindro recto, $LSA = 2\pi r h$ (el rectángulo formado al desenrollar la superficie curva), y para un cono recto, $LSA = \pi r l$ donde $l$ es la altura inclinada. Formalmente, para un prisma recto con perímetro de base $P$ y altura $h$, $LSA = Ph$; para un prisma oblicuo, cada cara es un paralelogramo y $LSA = Pl$ donde $l$ es la longitud de la arista lateral, y para superficies curvas, LSA es la integral de superficie sobre solo la porción lateral.
Example
Una caja de cereal de $8$ cm de alto, $10$ cm de ancho y $4$ cm de profundidad tiene cuatro paneles laterales con áreas $80$, $32$, $80$ y $32$ cm$^2$, dando un área de superficie lateral $= 224$ cm$^2$, sin contar la parte superior ni la inferior. Un prisma triangular con perímetro de base $18$ cm y altura $10$ cm tiene $LSA = 18 \times 10 = 180$ cm$^2$, y un cono con radio $5$ cm y altura inclinada $13$ cm tiene $LSA = \pi \times 5 \times 13 = 65\pi = 204.2$ cm$^2$. Para un cono con semiángulo $\alpha$ y altura $h$, la altura inclinada $l = h/\cos\alpha$, el radio $r = h\tan\alpha$, y $LSA = \pi r l = \pi h^2\tan\alpha/\cos\alpha$; cuando $\alpha \to 0$, el cono se aproxima a una forma de "aguja" y el LSA se aproxima a $0$.
Key Insight
Cuando despegas la etiqueta de una lata y la aplanas, obtienes un rectángulo: el área de ese rectángulo es el área de superficie lateral del cilindro, una excelente forma de visualizar por qué $LSA = 2\pi r h$. En manufactura, el área de superficie lateral determina el material necesario para latas, tubos y tuberías; el problema de optimización de minimizar el material total para un volumen fijo lleva al resultado de que el cilindro óptimo tiene altura igual al diámetro, un resultado clásico del cálculo aplicado.