等腰梯形
děng yāo tī xíng
等腰梯形是腰长相等、底角相等、对角线也全等的梯形。
Formula
\text{Area} = (1/2)(b_1 + b_2) \times \text{height}
Definition
等腰梯形是两条不平行的腰长度相等的梯形，使它具有对称性，关于其对称轴(两条底边的垂直平分线)呈镜像。它的底角全等，对角线全等，并且它总是圆内接四边形，因为它的对角互补；对于底边 $b_1, b_2$ 和腰 $a$，对角线长度为 $d=\sqrt{a^2+b_1b_2}$。
Example
灯罩的形状，或者一个上下颠倒、斜边长度相等的水桶都是等腰梯形；沿中线对折它，两半会完全重合。底边为 $10$ 和 $6$，腰为 $5$：高 $=\sqrt{5^2-2^2}=\sqrt{21}$，面积 $=(1/2)(16)(\sqrt{21})=8\sqrt{21}\approx36.7$。对于 $b_1=10$，$b_2=4$，$a=5$：对角线 $d=\sqrt{25+40}=\sqrt{65}$。
Key Insight
像等腰三角形一样，等腰梯形有一条对称轴，每条底边上的底角相等，就像等腰三角形的底角相等一样。它的圆内接性质与托勒密定理直接相关：对于等腰梯形 $ABCD$，对角线相等(为 $d$)，底边为 $b_1, b_2$，托勒密定理给出 $d^2=b_1b_2+a^2$，验证了对角线公式，并说明托勒密定理如何统一了勾股定理(矩形情形)和这一梯形结果。