无理数
wú lǐ shù
无理数是不能表示为两个整数之比的实数，其小数形式既不终止也不循环。
Definition
无理数是不能写成简单分数的数，即不存在任何整数 $p$、$q$（$q \neq 0$）使其能表示为 $p/q$ 的实数；等价地说，它的小数展开是无限不循环的。无理数集 $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ 是实数中有理数的补集，与 $\mathbb{Q}$ 不同，它是不可数的（具有连续统的基数），这意味着从测度论的角度看，"几乎所有"实数都是无理数。
Example
$2$ 的平方根约为 $1.41421356\ldots$，这些数字永不循环；圆周率（$3.14159\ldots$）是另一个著名的无理数。证明 $\sqrt{2}$ 是无理数的经典方法是：假设 $\sqrt{2} = p/q$ 且为最简分数，则 $2q^2 = p^2$，于是 $p^2$（从而 $p$）必为偶数；令 $p = 2k$，得 $2q^2 = 4k^2$，即 $q^2 = 2k^2$，说明 $q$ 也是偶数，这与"最简分数"的假设矛盾。超越数，即不是任何整系数多项式之根的数，是无理数的一个真子集：$\pi$ 和 $e$ 都是超越数，分别由林德曼（1882年）和埃尔米特（1873年）证明。
Key Insight
"无理"意味着"不成比率"：无论怎样尝试，你都找不到两个整数，使它们的比恰好等于 $2$ 的平方根。常见的无理数包括 $\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$、$\pi$ 和 $e$，一个有理数与一个无理数相加，结果永远是无理数。刘维尔（1844年）通过构造刘维尔数首次证明了具体数是无理数，这些数的有理逼近收敛速度超出了代数数所能达到的范围；无理数在 $\mathbb{R}$ 中稠密，在任意区间内的测度为 $1$，而有理数的测度为 $0$，两者共同完美地铺满了整条实数轴。