Número Irracional
Un número irracional es un número real que no se puede expresar como una fracción de dos enteros; su forma decimal nunca termina ni se repite.
Definition
Un número irracional es un número que no se puede escribir como una fracción simple, un número real que no puede expresarse como $p/q$ para ningún par de enteros $p$ y $q$ con $q \neq 0$; equivalentemente, su expansión decimal no termina ni se repite. Los irracionales $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ son el complemento de los racionales dentro de los reales, y a diferencia de $\mathbb{Q}$ son no numerables (con la cardinalidad del continuo), lo cual significa que "casi todos" los números reales son irracionales en un sentido de teoría de la medida.
Example
La raíz cuadrada de $2$ es aproximadamente $1.41421356\ldots$, y esas cifras nunca se repiten; pi ($3.14159\ldots$) es otro famoso número irracional. Una demostración clásica de que $\sqrt{2}$ es irracional supone que $\sqrt{2} = p/q$ en su forma más simple: entonces $2q^2 = p^2$, así que $p^2$ (y por tanto $p$) es par; escribiendo $p = 2k$ se obtiene $2q^2 = 4k^2$, así que $q^2 = 2k^2$, haciendo que $q$ también sea par, lo cual contradice que la fracción estuviera en su forma más simple. Los números trascendentes, aquellos que no son raíces de ningún polinomio con coeficientes enteros, son un subconjunto propio de los irracionales: tanto $\pi$ como $e$ son trascendentes, demostrado por Lindemann (1882) y Hermite (1873) respectivamente.
Key Insight
Irracional significa "que no es una razón": por más que lo intentes, no puedes encontrar dos números enteros cuya razón sea exactamente igual a la raíz cuadrada de $2$. Los irracionales comunes incluyen $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\pi$, y $e$, y sumar un racional a un irracional siempre produce un número irracional. Liouville (1844) demostró primero que ciertos números específicos eran irracionales al construir los números de Liouville, cuyas aproximaciones racionales convergen demasiado rápido para números algebraicos; los irracionales son densos en $\mathbb{R}$ y tienen medida $1$ dentro de cualquier intervalo, mientras que los racionales tienen medida $0$, de modo que juntos ambos conjuntos cubren perfectamente la recta real.