反比关系
fǎn bǐ guān xì
反比关系描述一个量增大而另一个量减小、且两者乘积始终保持不变的关系。
Formula
y = \frac{k}{x} \text{ or } xy = k
Definition
反比关系意味着当一个量增加时，另一个量减少，它们的乘积始终保持不变，两者朝着相反的方向变化。形式上，反比关系是$y = k/x$，等价地$xy = k$，其中$k$是非零的变化常数：对所有数对都有$xy = k$，图像是一条永不经过原点的双曲线，$x$翻倍则$y$减半。这是一个次数为$(-1)$的齐次函数，是正比关系与倒数函数复合而成的；更一般地，$y$与$x^n$成反比意味着$y = k/x^n$，这是一个负次幂单项式，在物理学中以平方反比定律的形式随处可见。
Example
走$120$英里，速度越快所需时间越少：每小时$60$英里需要$2$小时，每小时$30$英里需要$4$小时，每小时$120$英里需要$1$小时，每种情况下速度$\times$时间$= 120$。检验数据$(3, 8)$、$(4, 6)$、$(6, 4)$、$(12, 2)$：乘积都是$24$，确认$y = 24/x$。玻意耳定律指出$PV = k$（在恒定温度下压强乘以体积是常数），所以压强翻倍会使体积减半，这是$k = nRT$的反比关系。
Key Insight
"反比"意味着相反：一个值翻倍，另一个就减半，而它们的乘积，也就是把它们相乘，始终是同一个常数，这正是反比关系的关键。反比关系的图像是位于相反象限（都为正或都为负）的双曲线，弯曲着远离两条坐标轴，却永不与之相交。平方反比定律（$y = k/x^2$）在物理学中随处可见，万有引力和静电力、光和声的强度、辐射，都源自三维空间中扩散的几何：半径为$r$的球面表面积是$4\pi r^2$，所以随着球面扩大，单位面积的强度按$1/r^2$下降。