Variación Inversa
La variación inversa describe una relación en la que una cantidad aumenta mientras la otra disminuye, y su producto siempre permanece constante.
Formula
y = \frac{k}{x} \text{ or } xy = k
Definition
La variación inversa significa que cuando una cantidad sube, la otra baja, y su producto siempre permanece igual, se mueven en direcciones opuestas. Formalmente, la variación inversa es $y = k/x$, o equivalentemente $xy = k$, donde $k$ es la constante de variación distinta de cero: $xy = k$ para todos los pares, la gráfica es una hipérbola que nunca pasa por el origen, y duplicar $x$ reduce $y$ a la mitad. Esta es una función homogénea de grado $(-1)$, la composición de la variación directa con la función recíproca; de manera más general, "$y$ varía inversamente como $x^n$" significa $y = k/x^n$, un monomio de grado negativo que aparece como leyes del inverso del cuadrado en toda la física.
Example
Al recorrer $120$ millas, más velocidad significa menos tiempo: $60$ mph toma $2$ horas, $30$ mph toma $4$ horas, $120$ mph toma $1$ hora, y en cada caso velocidad $\times$ tiempo $= 120$. Comprobar los datos $(3, 8)$, $(4, 6)$, $(6, 4)$, $(12, 2)$: los productos son todos $24$, confirmando $y = 24/x$. La ley de Boyle establece $PV = k$ (presión por volumen es constante a temperatura fija), así que duplicar la presión reduce el volumen a la mitad, variación inversa con $k = nRT$.
Key Insight
"Inversa" significa opuesta: cuando un valor se duplica, el otro se reduce a la mitad, y el producto, al multiplicarlos, siempre es la misma constante, la clave de la variación inversa. Las gráficas de variación inversa son hipérbolas que viven en cuadrantes opuestos (ambas positivas o ambas negativas), alejándose de ambos ejes pero sin cruzarlos nunca. Las leyes del inverso del cuadrado ($y = k/x^2$) aparecen en toda la física, fuerzas gravitacionales y electrostáticas, intensidad de la luz y el sonido, radiación, y surgen de la geometría de la propagación a través del espacio 3D: el área de la superficie de una esfera de radio $r$ es $4\pi r^2$, así que la intensidad por unidad de área cae como $1/r^2$ al expandirse la esfera.