反正切
fǎn zhèng qiē
反正切（arctan）是返回其正切值等于给定值的角的函数。
Formula
\arctan(x) = \theta \text{ such that } \tan(\theta) = x
Definition
反正切（也称为 arctan 或 $\tan^{-1}$）是正切的逆运算：给定任意一个数，它告诉你哪个角具有这个正切值。严格来说，$\arctan(x)$ 是把 tan 限制在 $(-\pi/2, \pi/2)$ 上得到的反函数，因此对任意实数 $x$，$\arctan(x)$ 是 $(-90^\circ, 90^\circ)$ 内满足 $\tan(\theta) = x$ 的唯一角 $\theta$；与 arcsin 和 arccos 不同，arctan 接受所有实数作为输入。它把 $\mathbb{R}$ 映射到 $(-\pi/2, \pi/2)$，导数为 $d/dx[\arctan(x)] = 1/(1 + x^2)$。
Example
一架梯子靠在墙上，垂直高度 $6$ 英尺，水平距离 $4$ 英尺；它与地面所成的角 $= \arctan(6/4) = \arctan(1.5) \approx 56.3^\circ$。一个斜坡在水平距离 $10$ 米内上升 $3$ 米，其倾角 $= \arctan(0.3) \approx 16.7^\circ$。双参数形式 $\text{atan2}(y, x)$ 通过正确处理全部四个象限，为点 $(x, y)$ 给出 $(-\pi, \pi]$ 范围内的完整角度，不像 $\arctan(y/x)$ 那样会丢失象限信息，这在计算机图形学和机器人学中至关重要。
Key Insight
与只接受 $-1$ 到 $1$ 之间输入的正弦和余弦不同，正切可以是任意数值，所以 arctan 接受任意实数作为输入；当 $x$ 趋于无穷大时，$\arctan(x)$ 趋近于 $\pi/2$ 但永远不会到达，因为没有任何有限的数是 $90^\circ$ 的正切值。格雷戈里-莱布尼茨级数 $\pi/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + \ldots = \arctan(1)$，以及 $1/(1 + x^2)$ 的积分 $= \arctan(x) + C$，把这种渐近行为与部分分式积分及信号处理联系了起来。