Arcotangente
La tangente inversa (arcotangente) es la función que devuelve el ángulo cuya tangente es igual a un valor dado.
Formula
\arctan(x) = \theta \text{ such that } \tan(\theta) = x
Definition
La arcotangente (también llamada tangente inversa o $\tan^{-1}$) es el inverso de la tangente: dado cualquier número, indica qué ángulo tiene ese valor de tangente. Formalmente, $\arctan(x)$ es la inversa de tan restringida a $(-\pi/2, \pi/2)$, así que para cualquier $x$ real, $\arctan(x)$ es el único ángulo $\theta$ en $(-90^\circ, 90^\circ)$ con $\tan(\theta) = x$; a diferencia de arcsin y arccos, arctan acepta cualquier número real como entrada. Aplica $\mathbb{R} \to (-\pi/2, \pi/2)$ con derivada $d/dx[\arctan(x)] = 1/(1 + x^2)$.
Example
Una escalera se apoya contra una pared llegando a $6$ pies de altura y $4$ pies de distancia; el ángulo que forma con el suelo $= \arctan(6/4) = \arctan(1.5) \approx 56.3^\circ$. Una rampa que sube $3$ m en un recorrido horizontal de $10$ m tiene un ángulo de inclinación $= \arctan(0.3) \approx 16.7^\circ$. La forma de dos argumentos $\text{atan2}(y, x)$ da el ángulo completo en $(-\pi, \pi]$ para un punto $(x, y)$ manejando correctamente los cuatro cuadrantes, a diferencia de $\arctan(y/x)$ que pierde la información del cuadrante, esencial en gráficos por computadora y robótica.
Key Insight
A diferencia del seno y el coseno, que solo toman entradas de $-1$ a $1$, la tangente puede ser cualquier número, así que la arcotangente acepta cualquier número real como entrada; cuando $x$ se aproxima al infinito, $\arctan(x)$ se aproxima a $\pi/2$ pero nunca lo alcanza, ya que ningún número finito es la tangente de $90^\circ$. La serie de Gregory-Leibniz $\pi/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + \ldots = \arctan(1)$ y la integral de $1/(1 + x^2) = \arctan(x) + C$ conectan este comportamiento asintótico con la integración por fracciones parciales y el procesamiento de señales.