反正弦
fǎn zhèng xián
反正弦（arcsin）是返回其正弦值等于给定值的角的函数。
Formula
\arcsin(x) = \theta \text{ such that } \sin(\theta) = x, \text{ for } x \in [-1, 1]
Definition
反正弦（也称为 arcsin 或 $\sin^{-1}$）是正弦的逆运算：如果正弦是由角求比值，那么反正弦就是由比值求角。严格来说，$\arcsin(x)$ 是把 sin 限制在 $[-\pi/2, \pi/2]$ 上得到的反函数，因此对于 $[-1, 1]$ 中的任意 $x$，$\arcsin(x)$ 是该区间内满足 $\sin(\theta) = x$ 的唯一角 $\theta$；之所以需要这种限制，是因为同一个正弦值对应无穷多个角度（$30^\circ$、$150^\circ$、$390^\circ$、$\ldots$），所以必须限制定义域，才能使反正弦成为真正的函数。它是连续且严格递增的，当 $|x| < 1$ 时导数为 $d/dx[\arcsin(x)] = 1/\sqrt{1 - x^2}$。
Example
如果 $\sin(\theta) = 0.5$，那么 $\theta = \arcsin(0.5) = 30^\circ$，可以用计算器上的 $\sin^{-1}$ 按钮求出；对于对边 $= 7$、斜边 $= 10$ 的直角三角形，$\sin(\theta) = 0.7$，所以 $\theta = \arcsin(0.7) \approx 44.4^\circ$。写成积分形式，$\arcsin(x) = \int_0^x dt/\sqrt{1 - t^2}$，这一形式在计算椭圆的弧长时至关重要，在概率论中也是如此，$[0,1]$ 上的反正弦分布 $P(X \le x) = (2/\pi)\arcsin(\sqrt{x})$ 出现在布朗运动的反正弦律中。
Key Insight
可以把它看作是在"还原"正弦：正弦把一个角变成一个数，反正弦则把一个数还原成 $[-90^\circ, 90^\circ]$ 内的角。反正弦律描述了随机游走处于正值的时间比例，这是概率论中一个深刻的结果，其根源正是这个受限的反函数。