Arcoseno
El seno inverso (arcoseno) es la función que devuelve el ángulo cuyo seno es igual a un valor dado.
Formula
\arcsin(x) = \theta \text{ such that } \sin(\theta) = x, \text{ for } x \in [-1, 1]
Definition
El arcoseno (también llamado seno inverso o $\sin^{-1}$) es el inverso del seno: si el seno te da la razón conociendo el ángulo, el arcoseno te da el ángulo conociendo la razón. Formalmente, $\arcsin(x)$ es la inversa de sin restringida a $[-\pi/2, \pi/2]$, así que para cualquier $x$ en $[-1, 1]$, $\arcsin(x)$ es el único ángulo $\theta$ en ese rango con $\sin(\theta) = x$; esta restricción es necesaria porque el mismo valor de seno corresponde a infinitos ángulos ($30^\circ$, $150^\circ$, $390^\circ$, $\ldots$), así que el dominio debe restringirse para que el arcoseno sea una verdadera función. Es continua y estrictamente creciente, con derivada $d/dx[\arcsin(x)] = 1/\sqrt{1 - x^2}$ para $|x| < 1$.
Example
Si $\sin(\theta) = 0.5$, entonces $\theta = \arcsin(0.5) = 30^\circ$, hallado con el botón $\sin^{-1}$ de una calculadora; para un triángulo rectángulo con opuesto $= 7$ e hipotenusa $= 10$, $\sin(\theta) = 0.7$, así que $\theta = \arcsin(0.7) \approx 44.4^\circ$. Escrito como integral, $\arcsin(x) = \int_0^x dt/\sqrt{1 - t^2}$, una forma fundamental para calcular la longitud de arco de elipses y en probabilidad, donde la distribución arcoseno $P(X \le x) = (2/\pi)\arcsin(\sqrt{x})$ en $[0,1]$ aparece en la ley del arcoseno del movimiento browniano.
Key Insight
Piénsalo como "deshacer" el seno: el seno toma un ángulo y da un número, el arcoseno toma un número y devuelve el ángulo en $[-90^\circ, 90^\circ]$. La ley del arcoseno describe la fracción de tiempo que una caminata aleatoria pasa en valores positivos, un resultado profundo en teoría de probabilidad que se remonta directamente a esta función inversa restringida.