逆矩阵
nì jǔ zhèn
方阵 A 的逆矩阵记作 A^-1,是唯一满足 A 乘以 A^-1 等于单位矩阵的矩阵。
Formula
A A^{-1} = A^{-1} A = I
Definition
矩阵 $A$ 的逆矩阵是另一个矩阵 $A^{-1}$，使得两者相乘得到单位矩阵：$A A^{-1} = A^{-1} A = I$，并非每个矩阵都有逆矩阵，一个矩阵可逆（非奇异）当且仅当 $\det(A) \neq 0$。对于 $2\times 2$ 矩阵：若 $A = \begin{bmatrix}a & b\\c & d\end{bmatrix}$，则 $A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d & -b\\-c & a\end{bmatrix}$；更大的矩阵使用行化简或代数余子式方法，得到 $A^{-1} = \text{adj}(A)/\det(A)$，其中 $\text{adj}(A)$ 是伴随矩阵（代数余子式矩阵的转置）。由诺伊曼级数，$(I - B)^{-1} = \sum_{k=0}^{\infty} B^k$，只要在算子范数下 $\|B\| < 1$，这是几何级数 $1/(1-r) = \sum r^n$ 在矩阵上的推广；所有可逆的 $n \times n$ 矩阵构成一般线性群 $GL_n(F)$，其丰富的子群结构（$SL_n$、$O_n$、$U_n$、$Sp_n$）是微分几何、物理学和表示论的基础。
Example
对于 $A = \begin{bmatrix}2 & 1\\5 & 3\end{bmatrix}$，$A^{-1} = \begin{bmatrix}3 & -1\\-5 & 2\end{bmatrix}$，验证一下，$A A^{-1} = \begin{bmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{bmatrix} = I$。对于 $A = \begin{bmatrix}4 & 7\\2 & 6\end{bmatrix}$，$\det(A) = 10$，所以 $A^{-1} = (1/10)\begin{bmatrix}6 & -7\\-2 & 4\end{bmatrix}$。逆矩阵用来求解矩阵方程：若 $Ax = b$，当 $A$ 可逆时，$x = A^{-1}b$，这是把方程两边除以一个数的矩阵类比。
Key Insight
逆矩阵"撤销"原来的变换，就像反函数互相撤销一样：如果 $A$ 把某些信息打乱，$A^{-1}$ 就能把它还原，只有行列式非零的矩阵才具有这种性质。矩阵可逆性是线性代数的核心概念，可逆矩阵构成的一般线性群 $GL_n(F)$，连同它丰富的子群结构，是微分几何、物理学和表示论的基础。