Matriz Inversa
La inversa de una matriz cuadrada A, escrita A^-1, es la única matriz tal que A multiplicada por A^-1 es igual a la matriz identidad.
Formula
A A^{-1} = A^{-1} A = I
Definition
La inversa de una matriz $A$ es otra matriz $A^{-1}$ tal que al multiplicarlas juntas dan la matriz identidad: $A A^{-1} = A^{-1} A = I$, y no toda matriz tiene una, una matriz es invertible (no singular) si y solo si $\det(A) \neq 0$. Para $2\times 2$: si $A = \begin{bmatrix}a & b\\c & d\end{bmatrix}$, entonces $A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d & -b\\-c & a\end{bmatrix}$; las matrices más grandes usan reducción por filas o métodos de cofactores, dando $A^{-1} = \text{adj}(A)/\det(A)$, donde $\text{adj}(A)$ es la adjunta (transpuesta de la matriz de cofactores). Por la serie de Neumann, $(I - B)^{-1} = \sum_{k=0}^{\infty} B^k$ siempre que $\|B\| < 1$ en norma de operador, la generalización matricial de la serie geométrica $1/(1-r) = \sum r^n$; el conjunto de matrices invertibles $n \times n$ forma el grupo lineal general $GL_n(F)$, cuya rica estructura de subgrupos ($SL_n$, $O_n$, $U_n$, $Sp_n$) subyace a la geometría diferencial, la física, y la teoría de representaciones.
Example
Para $A = \begin{bmatrix}2 & 1\\5 & 3\end{bmatrix}$, $A^{-1} = \begin{bmatrix}3 & -1\\-5 & 2\end{bmatrix}$, y comprobando, $A A^{-1} = \begin{bmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{bmatrix} = I$. Para $A = \begin{bmatrix}4 & 7\\2 & 6\end{bmatrix}$, $\det(A) = 10$, así que $A^{-1} = (1/10)\begin{bmatrix}6 & -7\\-2 & 4\end{bmatrix}$. La inversa se usa para resolver ecuaciones matriciales: si $Ax = b$, entonces $x = A^{-1}b$ cuando $A$ es invertible, el análogo matricial de dividir ambos lados de una ecuación por un número.
Key Insight
Una matriz inversa "deshace" la transformación original, tal como las funciones inversas se deshacen mutuamente: si $A$ mezcla cierta información, $A^{-1}$ la desenmaraña, y solo las matrices con determinante distinto de cero tienen esta propiedad. La invertibilidad de matrices es el concepto central del álgebra lineal, y el conjunto de matrices invertibles que forma el grupo lineal general $GL_n(F)$, con su rica estructura de subgrupos, subyace a gran parte de la geometría diferencial, la física, y la teoría de representaciones.