反函数
fǎn hán shù
反函数撤销原函数的作用,交换输入与输出,使得 f(f^-1(x)) = x。
Formula
f(f^{-1}(x)) = f^{-1}(f(x)) = x
Definition
反函数撤销原函数所做的事：如果 $f$ 把 $3$ 变成 $7$，反函数就把 $7$ 变回 $3$，交换了输入和输出。反函数 $f^{-1}$ 满足 $f(f^{-1}(x)) = x$ 和 $f^{-1}(f(x)) = x$，但只有当函数是一一函数（通过水平线检验）时才存在反函数；要求 $f^{-1}$，把 $f(x)$ 替换为 $y$，交换 $x$ 和 $y$，再解出 $y$。严格地说，双射 $f: A \to B$ 有唯一的双边反函数 $f^{-1}: B \to A$，满足 $f \circ f^{-1} = \text{id}_B$ 和 $f^{-1} \circ f = \text{id}_A$；反函数定理保证，对雅可比行列式非零的可微函数，局部反函数一定存在。
Example
$f(x) = x + 5$ 表示加 $5$，所以它的反函数 $f^{-1}(x) = x - 5$ 表示减 $5$：若 $f(3) = 8$，则 $f^{-1}(8) = 3$。对于 $f(x) = 2x - 6$：设 $y = 2x - 6$，交换得 $x = 2y - 6$，解出 $f^{-1}(x) = (x + 6)/2$；验证一下，$f(f^{-1}(4)) = f(5) = 4$。反函数定理指出，若 $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ 是 $C^1$ 的，且 $\det(Df(p)) \neq 0$，则 $f$ 在 $p$ 附近局部可逆，且反函数也是 $C^1$ 的，这一结果被用于证明隐函数定理。
Key Insight
在图像上，反函数是原函数关于直线 $y = x$ 的镜像，$f^{-1}$ 的定义域是 $f$ 的值域，反之亦然；指数函数与对数函数互为反函数，$\log_b(b^x) = x$ 且 $b^{\log_b(x)} = x$。对非双射函数而言，左逆与右逆是不同的：在泛函分析中，一个有界线性算子若是单射则可能有左逆，若是满射则可能有右逆，但只有双射时才两者都有。