Función Inversa
Una función inversa revierte el efecto de la función original, intercambiando entradas y salidas de modo que f(f^-1(x)) = x.
Formula
f(f^{-1}(x)) = f^{-1}(f(x)) = x
Definition
Una función inversa deshace lo que hizo la función original: si $f$ toma $3$ y da $7$, la inversa toma $7$ y devuelve $3$, intercambiando entradas y salidas. La función inversa $f^{-1}$ satisface $f(f^{-1}(x)) = x$ y $f^{-1}(f(x)) = x$, pero una función tiene inversa solo si es uno a uno (pasa la prueba de la línea horizontal); para encontrar $f^{-1}$, reemplaza $f(x)$ por $y$, intercambia $x$ y $y$, luego resuelve para $y$. Formalmente, una biyección $f: A \to B$ tiene una única inversa bilateral $f^{-1}: B \to A$ que satisface $f \circ f^{-1} = \text{id}_B$ y $f^{-1} \circ f = \text{id}_A$; el teorema de la función inversa garantiza una inversa local para funciones diferenciables con determinante jacobiano distinto de cero.
Example
$f(x) = x + 5$ suma $5$, así que su inversa $f^{-1}(x) = x - 5$ resta $5$: si $f(3) = 8$, entonces $f^{-1}(8) = 3$. Para $f(x) = 2x - 6$: escribe $y = 2x - 6$, intercambia a $x = 2y - 6$, luego resuelve para obtener $f^{-1}(x) = (x + 6)/2$; comprobando, $f(f^{-1}(4)) = f(5) = 4$. El teorema de la función inversa establece que si $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ es $C^1$ y $\det(Df(p)) \neq 0$, entonces $f$ es localmente invertible cerca de $p$ con una inversa $C^1$, un resultado usado para demostrar el teorema de la función implícita.
Key Insight
En una gráfica, la inversa es la imagen especular de la original a través de la línea $y = x$, y el dominio de $f^{-1}$ es el rango de $f$ y viceversa; las funciones exponenciales y logarítmicas son inversas una de la otra, $\log_b(b^x) = x$ y $b^{\log_b(x)} = x$. Las inversas izquierda y derecha son distintas para funciones no biyectivas: en análisis funcional, un operador lineal acotado puede tener una inversa izquierda (si es inyectivo) o una inversa derecha (si es sobreyectivo) pero no ambas a menos que sea biyectivo.