反余弦
fǎn yú xián
反余弦（arccos）是返回其余弦值等于给定值的角的函数。
Formula
\arccos(x) = \theta \text{ such that } \cos(\theta) = x, \text{ for } x \in [-1, 1]
Definition
反余弦（也称为 arccos 或 $\cos^{-1}$）是余弦的逆运算：给定一个比值，它求出具有该余弦值的角。严格来说，$\arccos(x)$ 是把余弦限制在 $[0, \pi]$ 上得到的反函数，因此对于 $[-1, 1]$ 中的任意 $x$，$\arccos(x)$ 是 $[0^\circ, 180^\circ]$ 内满足 $\cos(\theta) = x$ 的唯一角 $\theta$，其导数为 $d/dx[\arccos(x)] = -1/\sqrt{1 - x^2}$。它满足基本恒等式 $\arcsin(x) + \arccos(x) = \pi/2$，对 $[-1, 1]$ 中的所有 $x$ 都成立。
Example
如果 $\cos(\theta) = 0.5$，那么 $\theta = \arccos(0.5) = 60^\circ$，只要你知道直角三角形的邻边和斜边并想求角度，这就很有用。对于边长 $a = 7$、$b = 8$、$c = 5$ 的三角形，余弦定理给出 $\cos(C) = (7^2 + 8^2 - 5^2)/(2 \times 7 \times 8) = 88/112 \approx 0.786$，所以 $C = \arccos(0.786) \approx 38.2^\circ$；这可以推广到 $n$ 维，向量 $u$ 与 $v$ 之间的夹角满足 $\theta = \arccos((u \cdot v)/(|u||v|))$。
Key Insight
反余弦对余弦定理至关重要：一旦你算出 $\cos(C)$，就应用反余弦求出实际的角度，它的值域 $[0^\circ, 180^\circ]$ 覆盖了三角形中所有可能的角。恒等式 $\arcsin(x) + \arccos(x) = \pi/2$ 反映了正弦与余弦之间的互余关系，在信息几何中，量子态之间保真度的反余弦定义了纯量子态空间上的一种自然距离度量。