Arcocoseno
El coseno inverso (arcocoseno) es la función que devuelve el ángulo cuyo coseno es igual a un valor dado.
Formula
\arccos(x) = \theta \text{ such that } \cos(\theta) = x, \text{ for } x \in [-1, 1]
Definition
El arcocoseno (también llamado coseno inverso o $\cos^{-1}$) es el inverso del coseno: dada una razón, halla el ángulo que tiene ese valor de coseno. Formalmente, $\arccos(x)$ es la inversa del coseno restringida a $[0, \pi]$, así que para cualquier $x$ en $[-1, 1]$, $\arccos(x)$ es el único ángulo $\theta$ en $[0^\circ, 180^\circ]$ con $\cos(\theta) = x$, con derivada $d/dx[\arccos(x)] = -1/\sqrt{1 - x^2}$. Satisface la identidad fundamental $\arcsin(x) + \arccos(x) = \pi/2$ para todo $x$ en $[-1, 1]$.
Example
Si $\cos(\theta) = 0.5$, entonces $\theta = \arccos(0.5) = 60^\circ$, útil siempre que conozcas los catetos adyacente e hipotenusa de un triángulo rectángulo y quieras el ángulo. Para un triángulo con lados $a = 7$, $b = 8$, $c = 5$, la ley de cosenos da $\cos(C) = (7^2 + 8^2 - 5^2)/(2 \times 7 \times 8) = 88/112 \approx 0.786$, así que $C = \arccos(0.786) \approx 38.2^\circ$; esto se generaliza a $n$ dimensiones, donde el ángulo entre los vectores $u$ y $v$ satisface $\theta = \arccos((u \cdot v)/(|u||v|))$.
Key Insight
El arcocoseno es esencial para la ley de cosenos: una vez que calculas $\cos(C)$, aplicas arccos para hallar el ángulo real, y su rango $[0^\circ, 180^\circ]$ cubre todo ángulo posible en un triángulo. La identidad $\arcsin(x) + \arccos(x) = \pi/2$ refleja la relación complementaria entre seno y coseno, y en geometría de la información, el arccos de la fidelidad entre estados cuánticos define una métrica de distancia natural en el espacio de estados cuánticos puros.