区间表示法
qū jiān biǎo shì fǎ
区间表示法用方括号和圆括号来描述数轴上的一组数，表明端点是否被包含在内。
Definition
区间表示法是书写一段数值范围的简写方式：方括号 $[ ]$ 表示端点包含在内（闭），圆括号 $( )$ 表示端点不包含在内（开）；无穷大始终使用圆括号，因为你永远无法到达它，而并集符号（$\cup$）用来连接互不相交的区间。严格地说，$\mathbb{R}$ 中的区间是一个连通子集：集合 $I$ 满足对任意 $a, b \in I$ 以及任意满足 $a < c < b$ 的 $c$，都有 $c \in I$。区间共有九种类型：$(a,b)$、$[a,b]$、$(a,b]$、$[a,b)$、$(a,\infty)$、$[a,\infty)$、$(-\infty,b)$、$(-\infty,b]$，以及 $(-\infty,\infty) = \mathbb{R}$，而区间正是 $\mathbb{R}$ 在标准拓扑下的全部连通子集。
Example
$[3, 7]$ 表示从 $3$ 到 $7$ 的所有数，包含 $3$ 和 $7$；而 $(3, 7)$ 不包含这两个端点。$x \ge -4$ 写作 $[-4, \infty)$，$-2 < x \le 5$ 写作 $(-2, 5]$，$x < 1$ 或 $x > 3$ 写作 $(-\infty, 1) \cup (3, \infty)$。$x^2 < 9$ 的解集是 $\{x : -3 < x < 3\} = (-3, 3)$，这是一个开区间，在 $\mathbb{R}$ 的标准拓扑中既连通又开。
Key Insight
无穷大处务必使用圆括号，因为你永远无法到达它。区间表示法比集合构建式记法更简洁，也比单纯写出不等式包含更多信息，因为它清楚地显示了有界性以及端点是否包含在内。海涅-博雷尔定理刻画了 $\mathbb{R}$ 中的紧致子集，恰好就是闭有界区间 $[a, b]$，这正是闭区间能保证连续函数存在最大值和最小值的原因，是贯穿分析学的重要事实。