Notación de Intervalos
La notación de intervalos es una forma de describir un conjunto de números en la recta numérica usando corchetes y paréntesis para indicar si los extremos están incluidos o excluidos.
Definition
La notación de intervalos es una forma abreviada de escribir un rango de números: los corchetes $[ ]$ significan que el extremo está incluido (cerrado), y los paréntesis $( )$ significan que el extremo no está incluido (abierto); el infinito siempre usa un paréntesis, ya que nunca se puede alcanzar, y el símbolo de unión ($\cup$) conecta intervalos disjuntos. Formalmente, un intervalo en $\mathbb{R}$ es un subconjunto conexo: un conjunto $I$ tal que para cualesquiera $a, b \in I$ y cualquier $c$ con $a < c < b$, se tiene $c \in I$. Existen nueve tipos de intervalos: $(a,b)$, $[a,b]$, $(a,b]$, $[a,b)$, $(a,\infty)$, $[a,\infty)$, $(-\infty,b)$, $(-\infty,b]$, y $(-\infty,\infty) = \mathbb{R}$, y los intervalos son exactamente los subconjuntos conexos de $\mathbb{R}$ bajo la topología estándar.
Example
$[3, 7]$ significa todos los números del $3$ al $7$, incluyendo el $3$ y el $7$, mientras que $(3, 7)$ excluye ambos extremos. $x \ge -4$ se escribe $[-4, \infty)$, $-2 < x \le 5$ se escribe $(-2, 5]$, y $x < 1$ o $x > 3$ se escribe $(-\infty, 1) \cup (3, \infty)$. El conjunto solución de $x^2 < 9$ es $\{x : -3 < x < 3\} = (-3, 3)$, un intervalo abierto que es conexo y abierto en la topología estándar sobre $\mathbb{R}$.
Key Insight
Siempre usa paréntesis con el infinito, ya que nunca se puede alcanzar. La notación de intervalos es más compacta que la notación de conjuntos por comprensión y más informativa que simplemente escribir la desigualdad, ya que muestra claramente la acotación y si los extremos están incluidos. El teorema de Heine-Borel caracteriza los subconjuntos compactos de $\mathbb{R}$ como exactamente los intervalos cerrados y acotados $[a, b]$, lo que sustenta por qué los intervalos cerrados garantizan la existencia de máximos y mínimos para funciones continuas, un hecho esencial en todo el análisis.