集合的交集
jí hé de jiāo jí
两个集合的交集是由同时属于这两个集合的所有元素组成的集合,记作 A ∩ B。
Formula
A \cap B = \{x : x \in A \text{ and } x \in B\}
Definition
两个集合的交集只保留同时出现在两个集合中的元素。严格地说，$A \cap B = \{x : x \in A \text{ and } x \in B\}$，具有性质 $A \cap A = A$、$A \cap \emptyset = \emptyset$、交换律、结合律，以及分配律 $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$。对于一族集合 $\{A_i\}$，$\bigcap_{i \in I} A_i = \{x : x \in A_i \text{ for all } i \in I\}$；在拓扑学中，开集在有限交下封闭（但未必在任意交下封闭），在概率论中，$P(A \cap B) = P(A)P(B)$ 刻画了独立事件。
Example
对于 $A = \{1, 2, 3, 4\}$ 和 $B = \{3, 4, 5, 6\}$：$A \cap B = \{3, 4\}$，只有同时在两个集合中的元素。若 $A$ 是 $2$ 的倍数，$B$ 是 $3$ 的倍数（在正整数中），则 $A \cap B$ 是 $6$ 的倍数，即 $\{6, 12, 18, \ldots\}$。一个无穷的例子：$\bigcap_{n=1}^{\infty} (0, 1/n) = \emptyset$，开区间的交集缩小到什么都不剩，但 $\bigcap_{n=1}^{\infty} [0, 1/n] = \{0\}$，由闭区间套定理得出。
Key Insight
在维恩图中，交集是两个圆中间重叠的区域，交集对应于逻辑上的"且"；连同并集和补集一起，它们构成了集合运算的布尔代数结构。闭区间套定理（一列递减的闭有界区间的交集非空）是构造实数、证明 $\mathbb{R}$ 完备性的关键工具。