Intersección de Conjuntos
La intersección de dos conjuntos es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a ambos conjuntos simultáneamente, escrito A ∩ B.
Formula
A \cap B = \{x : x \in A \text{ and } x \in B\}
Definition
La intersección de dos conjuntos conserva solo los elementos que aparecen en ambos conjuntos al mismo tiempo. Formalmente, $A \cap B = \{x : x \in A \text{ and } x \in B\}$, con propiedades $A \cap A = A$, $A \cap \emptyset = \emptyset$, conmutatividad, asociatividad y la ley distributiva $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$. Para una colección $\{A_i\}$, $\bigcap_{i \in I} A_i = \{x : x \in A_i \text{ for all } i \in I\}$; en topología, los conjuntos abiertos son cerrados bajo intersección finita (pero no necesariamente bajo intersección arbitraria), y en probabilidad $P(A \cap B) = P(A)P(B)$ caracteriza a los eventos independientes.
Example
Para $A = \{1, 2, 3, 4\}$ y $B = \{3, 4, 5, 6\}$: $A \cap B = \{3, 4\}$, solo los elementos en ambos conjuntos. Si $A$ = múltiplos de $2$ y $B$ = múltiplos de $3$ (en enteros positivos), $A \cap B$ = múltiplos de $6$ = $\{6, 12, 18, \ldots\}$. Un ejemplo infinito: $\bigcap_{n=1}^{\infty} (0, 1/n) = \emptyset$, la intersección de intervalos abiertos se reduce a nada, pero $\bigcap_{n=1}^{\infty} [0, 1/n] = \{0\}$ por el teorema de los Intervalos Anidados.
Key Insight
En un diagrama de Venn, la intersección es la región de traslape en el medio de los dos círculos, y la intersección corresponde al AND lógico; junto con la unión y el complemento forma la estructura de álgebra booleana de las operaciones de conjuntos. El teorema de los Intervalos Anidados (intersección no vacía de una sucesión decreciente de intervalos cerrados y acotados) es una herramienta clave para construir los números reales y demostrar la completitud de $\mathbb{R}$.