分部积分法
fēn bù jī fēn fǎ
分部积分法是一种技巧,借助公式 ∫u dv = uv - ∫v du 把两个函数乘积的积分转化为另一种形式。
Formula
\int u\, dv = uv - \int v\, du
Definition
分部积分法是在换元法不奏效时，用来对两个函数的乘积求积分的一种技巧；公式 $\int u\, dv = uv - \int v\, du$ 把难度从一个因子转移到另一个因子上。它由乘积法则推导而来：$d(uv)/dx = u\, dv/dx + v\, du/dx$，两边积分得到 $uv = \int u\, dv + \int v\, du$，整理后即为分部积分公式。反复应用可得到 $\int u v^{(n)}\, dx = \sum_{k=0}^{n-1} (-1)^k u^{(k)} v^{(n-1-k)} + (-1)^n \int u^{(n)} v\, dx$，用于推导带积分余项的泰勒定理。
Example
对于 $\int x e^x\, dx$：选 $u = x$ 和 $dv = e^x\, dx$，于是 $du = dx$，$v = e^x$；公式给出 $xe^x - \int e^x\, dx = xe^x - e^x + C$。有些积分需要两次应用这一技巧，然后再用代数方法求解：$\int e^x \cos(x)\, dx$ 最终会在右边重新出现原积分，解出来得到 $(e^x(\sin x + \cos x))/2 + C$。在泛函分析中，分部积分定义了求导算子的伴随算子：对于 $L^2$ 函数，当边界项消失时，$\langle f', g \rangle = -\langle f, g' \rangle$，这使得 $d/dx$ 成为一个反自伴算子。
Key Insight
口诀"反对幂指三"（反三角函数、对数、幂函数、指数函数、三角函数）提示应该选哪个因子作为 $u$：选择在这个顺序中较靠前的类型。当原积分重新出现在等式右边时，把它像代数方程一样移到一边合并，这是能求解一整类积分的"循环"技巧。$d/dx$ 在分部积分下的反自伴性，正是量子力学中动量算子自伴的数学原因，把微积分与算子的谱理论联系了起来。