Integración por Partes
La integración por partes es una técnica que transforma la integral de un producto de dos funciones usando la fórmula ∫u dv = uv - ∫v du.
Formula
\int u\, dv = uv - \int v\, du
Definition
La integración por partes es una técnica para integrar un producto de dos funciones cuando la sustitución en u no funciona; la fórmula $\int u\, dv = uv - \int v\, du$ traslada la dificultad de un factor al otro. Se deriva de la regla del producto: $d(uv)/dx = u\, dv/dx + v\, du/dx$, integrando ambos lados se obtiene $uv = \int u\, dv + \int v\, du$, reordenada en la fórmula por partes. La aplicación repetida genera $\int u v^{(n)}\, dx = \sum_{k=0}^{n-1} (-1)^k u^{(k)} v^{(n-1-k)} + (-1)^n \int u^{(n)} v\, dx$, usada para deducir el teorema de Taylor con residuo integral.
Example
Para $\int x e^x\, dx$: elige $u = x$ y $dv = e^x\, dx$, así que $du = dx$, $v = e^x$; la fórmula da $xe^x - \int e^x\, dx = xe^x - e^x + C$. Algunas integrales necesitan que la técnica se aplique dos veces y luego se resuelva algebraicamente: $\int e^x \cos(x)\, dx$ eventualmente se reproduce a sí misma en el lado derecho, y resolviendo da $(e^x(\sin x + \cos x))/2 + C$. En análisis funcional, la integración por partes define el adjunto del operador de diferenciación: para funciones $L^2$, $\langle f', g \rangle = -\langle f, g' \rangle$ cuando los términos de frontera se anulan, haciendo de $d/dx$ un operador antiadjunto.
Key Insight
El mnemónico LIATE (Logaritmo, Inversa trigonométrica, Algebraica, Trigonométrica, Exponencial) sugiere qué factor elegir como $u$: elige el tipo que aparece antes en la lista. Cuando la integral original reaparece en el lado derecho, agrúpala en un lado como una ecuación algebraica, un truco "cíclico" que resuelve toda una clase de integrales. La antiadjunción de $d/dx$ bajo la integración por partes es la razón matemática por la que el momento es autoadjunto en la mecánica cuántica, vinculando el cálculo con la teoría espectral de operadores.