整数
zhěng shù
整数是任意正整数、其相反数或零，不含小数或分数部分。
Definition
整数是任意正整数、任意负整数或零，没有小数或分数部分，构成集合 $\{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\}$，向两个方向无限延伸，包含所有自然数、它们的相反数以及零。整数在加法、减法和乘法下是封闭的，但在除法下不是。从代数角度看，整数集 $\mathbb{Z}$ 构成一个交换环：它是一个没有零因子的整环（若 $ab = 0$，则 $a = 0$ 或 $b = 0$），同时也是一个欧几里得整环，这保证了带余除法的存在：对任意 $a, b$（在 $\mathbb{Z}$ 中）且 $b \neq 0$，都存在唯一的 $q, r$ 使得 $a = bq + r$，且 $0 \le r < |b|$。
Example
数 $-5$、$-2$、$0$、$3$ 和 $100$ 都是整数，而 $1.5$ 或 $3/4$ 则不是。整数在加法和乘法下保持封闭，例如 $(-4) + 7 = 3$ 和 $(-4) \times 3 = -12$，但在除法下不是：$7 / 2 = 3.5$ 就不是整数。将带余除法应用于 $a = 17$，$b = 5$ 得到 $q = 3$，$r = 2$，因为 $17 = 5(3) + 2$，这正是欧几里得算法求最大公约数所依赖的同一套流程。
Key Insight
可以把整数想象成温度计上的刻度：它们以整格上下移动，永远不会落在刻度之间。"整数"（integer）一词源自拉丁文，意为"完整的"或"未被触碰的"。每个整数都是有理数，但并非每个有理数都是整数：$\mathbb{Z}$ 是 $\mathbb{Q}$ 的真子集，而 $\mathbb{Q}$ 又包含在实数集 $\mathbb{R}$ 之中。整数是数论天然的研究场所，素数、整除性与同余关系都生活在这里。