Número Entero
Un número entero es cualquier número cabal, su contraparte negativa, o cero, sin parte fraccionaria ni decimal.
Definition
Un número entero es cualquier número positivo sin parte fraccionaria ni decimal, cualquier número negativo sin parte fraccionaria ni decimal, o el cero, formando el conjunto $\{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\}$, que se extiende infinitamente en ambas direcciones e incluye a los números naturales, sus negativos, y el cero. Los enteros son cerrados bajo la suma, la resta y la multiplicación, pero no bajo la división. Algebraicamente, los enteros $\mathbb{Z}$ forman un anillo conmutativo: un dominio íntegro sin divisores de cero (si $ab = 0$ entonces $a = 0$ o $b = 0$), y un dominio euclidiano, lo cual garantiza el algoritmo de la división: para cualesquiera $a, b$ en $\mathbb{Z}$ con $b \neq 0$, existen únicos $q, r$ tales que $a = bq + r$ con $0 \le r < |b|$.
Example
Los números $-5$, $-2$, $0$, $3$, y $100$ son todos números enteros, mientras que $1.5$ o $3/4$ no lo son. Los enteros permanecen cerrados bajo la suma y la multiplicación, como en $(-4) + 7 = 3$ y $(-4) \times 3 = -12$, pero no bajo la división: $7 / 2 = 3.5$ no es un número entero. El algoritmo de la división aplicado a $a = 17$, $b = 5$ produce $q = 3$, $r = 2$, ya que $17 = 5(3) + 2$, el mismo algoritmo que sustenta el procedimiento euclidiano del máximo común divisor.
Key Insight
Piensa en los números enteros como los que encontrarías en un termómetro: suben y bajan en pasos completos, sin caer nunca entre las marcas. La palabra "entero" viene del latín y significa "completo" o "intacto". Todo número entero es un número racional, pero no todo número racional es un entero: $\mathbb{Z}$ es un subconjunto propio de $\mathbb{Q}$, que a su vez está contenido en los reales $\mathbb{R}$. Los enteros son el entorno natural de la teoría de números, donde viven los números primos, la divisibilidad, y las congruencias.