瞬时变化率
shùn shí biàn huà lǜ
瞬时变化率是某个量在某一特定时刻的变化速度,等于该点处的导数。
Formula
f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}
Definition
瞬时变化率告诉你在某一精确时刻（而非一段区间内）某个量变化得究竟有多快；它等于导数 $f'(a)$ 在 $x=a$ 处的值，是把平均变化率公式中的区间不断缩小到零而得到的：$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$。它的存在要求函数在 $a$ 处可导，这是比连续更强的条件。
Example
汽车的车速表显示的是其位置的瞬时变化率：就在这一秒，你正以 $60$ 英里/小时的速度行驶，这不同于只给出平均值的行程总结。对于 $f(x) = x^2$，$f'(x) = 2x$，所以 $x = 3$ 处的瞬时变化率是 $f'(3) = 6$。对于像 $f(t) = e^{kt}$ 这样的指数模型，$f'(t) = ke^{kt}$，因此在人口增长或复利模型中，$k$ 就是瞬时的人均增长率。
Key Insight
平均速度与瞬时速度的区别，就是行程总结与实时车速表之间的区别，而瞬时变化率恰好就是切线的斜率，把导数的代数含义与其几何意义连接了起来。在物理学中，瞬时速度、加速度和加加速度是依次的瞬时变化率，而在热力学中，瞬时反应速率由微分速率定律支配。