Tasa de Cambio Instantánea
La tasa de cambio instantánea es la rapidez con la que cambia una cantidad en un momento específico, igual a la derivada en ese punto.
Formula
f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}
Definition
La tasa de cambio instantánea indica exactamente qué tan rápido cambia algo en un momento preciso, no en un intervalo; equivale a la derivada $f'(a)$ en $x=a$, obtenida al reducir a cero el intervalo de la fórmula de la tasa de cambio promedio: $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$. Su existencia requiere que la función sea diferenciable en $a$, una condición más fuerte que la continuidad.
Example
El velocímetro de un carro muestra su tasa de cambio instantánea de posición: en este mismo segundo, viajas a $60$ mph, a diferencia de un resumen de viaje que solo da un promedio. Para $f(x) = x^2$, $f'(x) = 2x$, así que la tasa instantánea en $x = 3$ es $f'(3) = 6$. Para modelos exponenciales como $f(t) = e^{kt}$, $f'(t) = ke^{kt}$, así que en el crecimiento poblacional o el interés compuesto, $k$ es la tasa de crecimiento per cápita instantánea.
Key Insight
La diferencia entre velocidad promedio y velocidad instantánea es la diferencia entre un resumen de viaje y un velocímetro en vivo, y la tasa de cambio instantánea es exactamente la pendiente de la recta tangente, conectando la derivada algebraica con su significado geométrico. En física, la velocidad instantánea, la aceleración y el tirón (jerk) son tasas de cambio instantáneas sucesivas, y en termodinámica la tasa instantánea de reacción está gobernada por leyes de velocidad diferenciales.