圆周角
yuán zhōu jiǎo
圆周角的顶点在圆上，两边为弦，其度数恰好是对着同一段弧的圆心角的一半。
Formula
\text{inscribed angle} = (1/2) \times \text{intercepted arc}
Definition
圆周角的顶点在圆上，它的边是弦；圆周角定理指出，它总是等于它所对弧的一半(对同一段弧，是圆心角的一半)，所以对同一段弧的所有圆周角都相等，无论顶点位于圆上何处。泰勒斯定理是弧为半圆时的特殊情形，此时圆周角为 $90^\circ$。更一般地，两条弦在圆内相交所形成的角等于它们各自所对两段弧之和的一半，而两条弦在圆上相交所形成的角，则证明了圆内接四边形的对角互补，因为它们所对的弧合起来正好是整个 $360^\circ$ 的圆。
Example
如果一段弧是 $80^\circ$，它的圆心角是 $80^\circ$，但张开对着它的任何圆周角只有 $40^\circ$，无论顶点位于圆的何处都是如此。若弧 $AB$ 为 $110^\circ$：在优弧上对着它的圆周角是 $55^\circ$，而在劣弧上对着优弧的圆周角是 $(360-110)/2=125^\circ$。两条弦 $PQ$ 和 $RS$ 在圆内交于 $T$，形成的角 $PTR=(1/2)(\text{arc }PR+\text{arc }QS)$：若这两段弧分别为 $80^\circ$ 和 $40^\circ$，角 $PTR=60^\circ$。
Key Insight
所有"看着"同一段弧的圆周角都相等，这是一个令人惊叹的事实，因为无论你站在圆上何处，视角保持不变。证明方法是通过圆周角的顶点作一条半径，利用等腰三角形(所有半径相等)和外角定理，说明圆周角是圆心角的一半，这一个定理支撑起圆几何的很大一部分：从圆内接四边形对角互补的原因，到托勒密定理，再到把三角形的角与外接圆半径联系起来的正弦定理 $a/\sin A=2R$。