Ángulo Inscrito
Un ángulo inscrito tiene su vértice sobre un círculo y sus lados son cuerdas, y mide exactamente la mitad del ángulo central que intercepta el mismo arco.
Formula
\text{inscribed angle} = (1/2) \times \text{intercepted arc}
Definition
Un ángulo inscrito tiene su vértice sobre un círculo con sus lados como cuerdas; el Teorema del Ángulo Inscrito establece que siempre es igual a la mitad del arco interceptado (la mitad del ángulo central para el mismo arco), así que todos los ángulos inscritos que interceptan el mismo arco son iguales, sin importar dónde se ubique el vértice sobre el círculo. El teorema de Tales es el caso especial donde el arco es un semicírculo, dando un ángulo inscrito de $90^\circ$. De forma más general, un ángulo formado por dos cuerdas que se intersecan dentro de un círculo es igual a la mitad de la suma de los dos arcos interceptados, y uno formado por dos cuerdas que se encuentran sobre el círculo demuestra que los ángulos opuestos de un cuadrilátero cíclico son suplementarios, ya que sus arcos interceptados juntos forman el círculo completo de $360^\circ$.
Example
Si un arco es $80^\circ$, su ángulo central es $80^\circ$ pero cualquier ángulo inscrito que se abre hacia él es solo $40^\circ$, y esto se cumple sin importar en qué parte del círculo se ubique el vértice. Si el arco $AB$ mide $110^\circ$: un ángulo inscrito sobre el arco mayor que lo intercepta es $55^\circ$, mientras que uno sobre el arco menor que intercepta el arco mayor es $(360-110)/2=125^\circ$. Dos cuerdas $PQ$ y $RS$ que se intersecan en $T$ dentro de un círculo dan el ángulo $PTR=(1/2)(\text{arc }PR+\text{arc }QS)$: si estos arcos son $80^\circ$ y $40^\circ$, el ángulo $PTR=60^\circ$.
Key Insight
Todos los ángulos inscritos que "miran hacia" el mismo arco son iguales, un hecho notable ya que el ángulo de vista permanece igual sin importar dónde te pares en el círculo. La demostración traza un radio a través del vértice del ángulo inscrito y usa triángulos isósceles (todos los radios iguales) junto con el teorema del ángulo exterior para mostrar que el ángulo inscrito es la mitad del ángulo central, y este único teorema sustenta gran parte de la geometría del círculo, desde por qué los cuadriláteros cíclicos tienen ángulos opuestos suplementarios, hasta el teorema de Ptolomeo, hasta la ley de senos $a/\sin A=2R$ que relaciona los ángulos de un triángulo con su circunradio.