无穷
wú qióng
无穷是表示没有边界或尽头的量的概念，它不是一个实数，而是用来描述无限增长的值。
Definition
无穷意味着"永远持续下去，没有尽头"：它不是一个你能数到的普通数，而是"没有最大值"这一概念本身。用双纽线符号（横放的 $8$）表示，无穷本身并不是一个实数；它描述的是一个无界的量，例如 $\lim_{x \to \infty} f(x)$ 表示 $f(x)$ 无限制地增长。集合论通过基数区分不同大小的无穷：$|\mathbb{N}| = \aleph_0$（可数），而 $|\mathbb{R}| = c = 2^{\aleph_0}$（不可数）；连续统假设，即不存在严格介于 $\aleph_0$ 与 $c$ 之间的基数，被哥德尔（1940年）和科恩（1963年）证明在 ZFC 集合论中是独立的。
Example
正整数会无限延续下去，$1, 2, 3, 4, \ldots$，没有"最后一个"，数轴也向两个方向无限延伸。$\lim_{x \to \infty} 1/x = 0$，级数 $1 + 1/2 + 1/4 + \ldots = 2$ 尽管有无穷多项，却收敛到一个有限的和，而 $1+1+1+\ldots$ 则发散到无穷。希尔伯特旅馆，一家拥有可数无穷个房间且已全部住满的旅馆，仍然能够通过把每位现有客人从房间 $n$ 移到房间 $n+1$ 来容纳一位新客人，生动地展示了无穷集合那反直觉的运算规律。
Key Insight
无论你说出多大的数，你总能再加 $1$ 得到一个更大的数，这正是无穷这一概念的核心。并非所有的无穷都相等：康托尔证明了实数比正整数"更无穷"，因为二者之间不存在一一对应关系（康托尔对角线论证），这一发现在他所处的时代颇具争议，如今却已成为基础性的结论。超越数（以及大多数无理数）的存在性直接由此得出：代数数只有可数多个，而实数却有不可数多个。