Infinito
El infinito es el concepto de una cantidad sin límite ni fin; no es un número real, pero se usa para describir valores que crecen sin límite.
Definition
El infinito significa "continuar para siempre sin fin": no es un número regular al que puedas contar, sino la idea de algo sin un valor máximo. Simbolizado por la lemniscata (un $8$ acostado), el infinito no es en sí mismo un número real; describe una cantidad no acotada, como en $\lim_{x \to \infty} f(x)$, que significa que $f(x)$ crece sin límite. La teoría de conjuntos distingue distintos tamaños de infinito por cardinalidad: $|\mathbb{N}| = \aleph_0$ (numerable) mientras que $|\mathbb{R}| = c = 2^{\aleph_0}$ (no numerable), y la Hipótesis del Continuo, que no existe cardinalidad estrictamente entre $\aleph_0$ y $c$, fue demostrada por Gödel (1940) y Cohen (1963) como independiente de la teoría de conjuntos ZFC.
Example
Los números naturales continúan para siempre, $1, 2, 3, 4, \ldots$, sin un "último", y la recta numérica se extiende infinitamente en ambas direcciones. $\lim_{x \to \infty} 1/x = 0$, y la serie $1 + 1/2 + 1/4 + \ldots = 2$ converge a una suma finita a pesar de tener infinitos términos, mientras que $1+1+1+\ldots$ diverge al infinito. El Hotel de Hilbert, con infinitas habitaciones numerables todas ocupadas, aún puede acomodar a un nuevo huésped desplazando a cada huésped actual de la habitación $n$ a la habitación $n+1$, ilustrando la aritmética poco intuitiva de los conjuntos infinitos.
Key Insight
Sin importar qué tan grande sea el número que nombres, siempre puedes sumarle $1$ para obtener uno mayor, la idea central del infinito. No todos los infinitos son iguales: Cantor demostró que los números reales son "más infinitos" que los números naturales, ya que no existe correspondencia biunívoca entre ellos (el argumento diagonal de Cantor), un descubrimiento que fue controvertido en su época pero que ahora es fundamental. La existencia de números trascendentes, y por tanto de la mayoría de los números irracionales, se sigue inmediatamente de esto: solo hay una cantidad numerable de números algebraicos pero una cantidad no numerable de números reales.