不等式
bù děng shì
不等式是使用小于、大于或不等于等符号来比较两个表达式的数学陈述。
Definition
不等式是用"小于""大于""小于或等于""大于或等于"这些符号（写作 $<$、$>$、$\le$、$\ge$）比较两个表达式的数学陈述；它不是说两者相等，而是说其中一个更大或更小，其解集通常是一整段取值范围，而不是单独一个数。一条关键规则是：两边同时乘以或除以一个负数时，不等号方向要翻转。更严格地说，不等式是有序域或有序环中表达式之间的一种偏序关系；对于实系数多项式不等式，斯图姆定理给出了计算某区间内实根个数的算法，而线性不等式组则定义了凸可行域，这正是线性规划的基础。
Example
$x > 5$ 表示 $x$ 大于 $5$：任何比 $5$ 大的数，如 $6$、$7$ 或 $100$，都使其成立。求解 $3x - 4 > 8$：加 $4$ 得到 $3x > 12$，再除以 $3$ 得到 $x > 4$，用区间表示法写作 $(4, \infty)$。不等式 $|x - 3| < 2$ 等价于 $-2 < x - 3 < 2$，即 $1 < x < 5$，这是一个开区间，其"距离"的含义把绝对值与度量空间联系了起来。
Key Insight
不等式描述的是一系列可能的答案，这对许多现实情境更贴切，比如"你必须年满 $13$ 岁"。乘以或除以负数时要翻转不等号，这是最常被遗忘的规则（例如 $-2x < 6$ 应得到 $x > -3$，而不是 $x < -3$）；而线性规划，即在由线性不等式定义的凸多面体上求线性目标函数的最大值或最小值，正是运筹学、物流优化和机器学习正则化方法的支柱。